شطرنج شاید یکی از معروف ترین بازی های فکری جهان باشد. این بازی از هند سرچشمه می گیرد و کتاب های بسیاری پیرامون آن نوشته شده است. اما جلوه ی دیگری که این بازی می تواند به ما نشان دهد بزرگی در عین کوچک بودن است! آیا مساله قدیمی دانه گندم و صفحه شطرنج را شنیده‌اید؟؟ اکنون می خواهیم با مساله دانه گندم و صفحه شطرنج همراه ما باشید.
مسئله شطرنج و گندم
«پادشاه هند به فردی که شطرنج را اختراع کرد گفت هر پاداشی که می‌خواهد بگوید. آن فرد نیز از پادشاه درخواست کرد تا یک صفحه شطرنج بیاورند و گفت به ازای خانه اول ۱ گندم، به ازای خانه دوم ۲ گندم، به ازای خانه سوم ۴ گندم و بدین ترتیب به ازای هر خانه دو برابر قبلی گندم به او پاداش داده شود. پادشاه که فکر می‌کرد درخواست او ناچیز است فرمان داد سریعاً پاداش او را تهیه کنند اما در واقع با محاسبه معلوم شد تهیه آن از عهده هیچ کسی بر نمی‌آید.»
میزان گندمی که پادشاه باید به او می داد برابر با (۱ -۲۶۴) است به عبارتی ۱۸٬۴۴۶٬۷۴۴٬۰۷۳٬۷۰۹٬۵۵۱٬۶۱۵ دانه گندم، این مقدار گندم تمام سطح هندوستان را تا ارتفاع ۱۵ متر می‌پوشاند یا اگر این میزان گندم پشت سر هم چیده شود می‌تواند فاصله زمین تا ستاره آلفا قنطورس را که برابر ۴ سال نوری است، دو بار برود و بازگردد.
شما عزیزان می توانید داستان زیبا و قدیمی مساله دانه گندم و صفحه شطرنج را در ویدئوی زیر مشاهده کنید:
فرض کنید جمعیت زمین برابر با ۷ میلیارد نفر باشد و هر فرد زمینی با یک فرد فضایی از جهان دیگر، شطرنج یک دقیقه ای بازی کند، در پایان هر روز ۱۰٬۰۸۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ بازی انجام خواهد شد، بعد از گذشت یک سال تعداد بازی ها به عدد ۳٬۶۷۹٬۲۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰٬۰۰۰ می رسد و بعد از یک میلیارد سال تعداد بازی های انجام شده برابر خواهد بود با ۱۰۲۴×۳٫۶۷۹۲.
عدد بزرگی به نظر می‌رسد اما حتی اگر ما زمان بازی را به یک ثانیه کاهش بدهیم الهه‌ی شطرنج بخاطر مقدار ناچیز تعداد بازی هایی که تحلیل کرده‌ایم به ما خواهد خندید. در واقع یک واقعیت جالب وجود دارد که تعداد بازی های شطرنج از اتم های جهان قابل مشاهده بیشتر است. اگر تمایل به یادگیری حرکت مهره ها در بازی شطرنج دارید، به شما پیشنهاد می کنیم آموزش حرکت مهره ها در شطرنج را مشاهده کنید.
می توان تعداد بازی های ممکن در شطرنج را برابر با « عدد شانون» در نظر گرفت. در سال ۱۹۵۰ «کلود شانون» در مقاله ای با نام «برنامه ریزی یک کامپیوتر برای شطرنج بازی کردن»، تشریح کرد که یک ماشین چگونه می‌تواند یک بازی شطرنج قابل قبول از خود به نمایش بگذارد. در این مقاله او عدد ۱۰۱۲۰ را به عنوان تخمینی برای تعداد بازی های شطرنج ارائه کرد که اگر این عدد را با تعداد اتم های جهان قابل مشاهده که تقریباً برابر با ۱۰۸۰ است مقایسه کنیم در واقع در مقابل هر اتم در هستی میلیارد‌ها بازی شطرنج وجود دارد.
خوانندگان گرامی برای آموزش حرفه ای شطرنج و وارد شدن در سامانه آموزش مجازی شطرنج (ترم اول رایگان) “کلیک” نمایید.
چگونه شانون به این عدد رسید؟ در واقع او با مشاهده بازی های شطرنج در نظر گرفت که در هر موقعیت به طور متوسط ۳۰ حرکت قانونی می توان انجام داد به این ترتیب برای حرکت اول ۹۰۰ حالت به تنهایی ایجاد می شود. (در شطرنج منظور از حرکت، حرکت سیاه و سفید با هم می باشد در واقع هر حرکت شامل دو نیم حرکت (ply) است) با فرض اینکه متوسط تعداد حرکات یک بازی شطرنج برابر ۴۰ است تعداد بازی ها برابر با ۳۰۸۰ است که این مقدار تقریباً برابر با ۱۰۱۲۰ میشود.
قطعاً این عدد دقیق نیست و فقط یک تقریب برای بازی های زیر ۴۰ حرکت است. شانون برای اینکه توضیح دهد اگر یک کامپیوتر بخواهد با اطمینان کامل بازی کند و فرض شود بتواند هر بازی را در زمان یک میکرو ثانیه محاسبه کند، برای اینکه حرکت اولش را انجام دهد به ۱۰۹۰ سال زمان نیاز دارد. تعداد بازی های شطرنج از اتم های جهان قابل مشاهده بیشتر است.
اگر بخواهیم محاسبات را دقیق تر انجام دهیم، مهره‌های سفید برای نوبت اول ۲۰ حرکت ممکن دارند ( ۱۶ حرکت پیاده و ۴ حرکت اسب)؛ به همین ترتیب مهره‌های سیاه نیز برای نوبت دوم ۲۰ حرکت دارند. بنابراین تنها برای حرکت اول ۴۰۰ حالت مختلف وجود دارد. در نوبت سوم مساله کمی پیچید‌ه‌تر شده و تعداد حالت‌ها به ۸۹۰۲ می‌رسد. در نوبت چهارم این مقدار برابر با ۱۹۷۷۴۲۱ است. به عبارتی تنها با دو حرکت، حدود دویست هزار حالت مختلف ایجاد میشود و این روند افزایشی ادامه خواهد داشت.
به منظور رسیدن به پاسخ سوال اصلی، ابتدا باید به این پرسش پاسخ دهیم که «آیا تعداد حرکت های یک بازی شطرنج بی نهایت است؟»
|
خانه ها |
از |
به |
|---|---|---|
|
۱ |
۱ |
۱ |
|
۲ |
۲ |
۳ |
|
۳ |
۴ |
۷ |
|
۴ |
۸ |
۱۵ |
|
۵ |
۱۶ |
۳۱ |
|
۶ |
۳۲ |
۶۳ |
|
۷ |
۶۴ |
۱۲۷ |
|
۸ |
۱۲۸ |
۲۵۵ |
|
۹ |
۲۵۶ |
۵۱۱ |
|
۱۰ |
۵۱۲ |
۱,۰۲۳ |
|
۱۱ |
۱,۰۲۴ |
۲,۰۴۷ |
|
۱۲ |
۲,۰۴۸ |
۴,۰۹۵ |
|
۱۳ |
۴,۰۹۶ |
۸,۱۹۱ |
|
۱۴ |
۸,۱۹۲ |
۱۶,۳۸۳ |
|
۱۵ |
۱۶,۳۸۴ |
۳۲,۷۶۷ |
|
۱۶ |
۳۲,۷۶۸ |
۶۵,۵۳۵ |
|
۱۷ |
۶۵,۵۳۶ |
۱۳۱,۰۷۱ |
|
۱۸ |
۱۳۱,۰۷۲ |
۲۶۲,۱۴۳ |
|
۱۹ |
۲۶۲,۱۴۴ |
۵۲۴,۲۸۷ |
|
۲۰ |
۵۲۴,۲۸۸ |
۱,۰۴۸,۵۷۵ |
|
۲۱ |
۱,۰۴۸,۵۷۶ |
۲,۰۹۷,۱۵۱ |
|
۲۲ |
۲,۰۸۷,۱۵۲ |
۴,۱۹۴,۳۰۳ |
|
۲۳ |
۴,۰۹۷,۱۵۲ |
۸,۳۸۸,۶۰۷ |
|
۲۴ |
۸,۳۸۸,۶۰۸ |
۱۶,۷۷۷,۲۱۵ |
|
۲۵ |
۱۶,۷۷۷,۲۱۶ |
۳۳,۵۵۴,۴۳۱ |
|
۲۶ |
۳۳,۵۵۴,۴۳۲ |
۶۷,۱۰۸,۸۶۳ |
|
۲۷ |
۶۷,۱۰۸,۸۶۴ |
۱۳۴,۲۱۷,۷۲۷ |
|
۲۸ |
۱۳۴,۲۱۷,۷۲۸ |
۲۶۸,۴۳۵,۴۵۵ |
|
۲۹ |
۲۶۸,۴۳۵,۴۵۶ |
۵۳۶,۸۷۰,۹۱۱ |
|
۳۰ |
۵۳۶,۸۷۰,۹۱۲ |
۱,۰۷۳,۷۴۱,۸۲۳ |
|
۳۱ |
۱,۰۷۳,۷۴۱,۸۲۴ |
۲,۱۴۷,۴۸۳,۶۴۷ |
|
۳۲ |
۲,۱۴۷,۴۸۳,۶۴۸ |
۴,۲۹۴,۹۶۷,۲۹۵ |
|
۳۳ |
۴,۲۹۴,۹۶۷,۲۹۶ |
۸,۵۸۹,۹۳۴,۵۹۱ |
|
۳۴ |
۸,۵۸۹,۹۳۴,۵۹۲ |
۱۷,۱۷۹,۸۶۹,۱۸۳ |
|
۳۵ |
۱۷,۱۷۹,۸۶۹,۱۸۴ |
۳۴,۳۵۹,۷۳۸,۳۶۷ |
|
۳۶ |
۳۴,۳۵۹,۷۳۸,۳۶۸ |
۶۸,۷۱۹,۴۷۶,۷۳۵ |
|
۳۷ |
۶۸,۷۱۹,۴۷۶,۷۳۶ |
۱۳۷,۴۳۸,۹۵۳,۴۷۱ |
|
۳۸ |
۱۳۷,۴۳۸,۹۵۳,۴۷۲ |
۲۷۴,۸۷۷,۹۰۶,۹۴۳ |
|
۳۹ |
۲۷۴,۸۷۷,۹۰۶,۹۴۴ |
۵۴۹,۷۵۵,۸۱۳,۸۸۷ |
|
۴۰ |
۵۴۹,۷۵۵,۸۱۳,۸۸۸ |
۱,۰۹۹,۵۱۱,۶۲۷,۷۷۵ |
|
۴۱ |
۱,۰۹۹,۵۱۱,۶۲۷,۷۷۶ |
۲,۱۹۹,۰۲۳,۲۵۵,۵۵۱ |
|
۴۲ |
۲,۱۹۹,۰۲۳,۲۵۵,۵۵۲ |
۴,۳۹۸,۰۴۶,۵۱۱,۱۰۳ |
|
۴۳ |
۴,۳۹۸,۰۴۶,۵۱۱,۱۰۴ |
۸,۷۹۶,۰۹۳,۰۲۲,۲۰۷ |
|
۴۴ |
۸,۷۹۶,۰۹۳,۰۲۲,۲۰۸ |
۱۷,۵۹۲,۱۸۶,۰۴۴,۴۱۵ |
|
۴۵ |
۱۷,۵۹۲,۱۸۶,۰۴۴,۴۱۶ |
۳۵,۱۸۴,۳۷۲,۰۸۸,۸۳۱ |
|
۴۶ |
۳۵,۱۸۴,۳۷۲,۰۸۸,۸۳۲ |
۷۰,۳۶۸,۷۴۴,۱۷۷,۶۶۳ |
|
۴۷ |
۷۰,۳۶۸,۷۴۴,۱۷۷,۶۶۴ |
۱۴۰,۷۳۷,۴۸۸,۳۵۵,۳۲۷ |
|
۴۸ |
۱۴۰,۷۳۷,۴۸۸,۳۵۵,۳۲۸ |
۲۸۱,۴۷۴,۹۷۶,۷۱۰,۶۵۵ |
|
۴۹ |
۲۸۱,۴۷۴,۹۷۶,۷۱۰,۶۵۶ |
۵۶۲,۹۴۹,۹۵۳,۴۲۱,۳۱۱ |
|
۵۰ |
۵۶۲,۹۴۹,۹۵۳,۴۲۱,۳۱۲ |
۱,۱۲۵,۸۹۹,۹۰۶,۸۴۲,۶۲۳ |
|
۵۱ |
۱,۱۲۵,۸۹۹,۹۰۶,۸۴۲,۶۲۴ |
۲,۲۵۱,۷۹۹,۸۱۳,۶۸۵,۲۴۷ |
|
۵۲ |
۲,۲۵۱,۷۹۹,۸۱۳,۶۸۵,۲۴۸ |
۴,۵۰۳,۵۹۹,۶۲۷,۳۷۰,۴۹۵ |
|
۵۳ |
۴,۵۰۳,۵۹۹,۶۲۷,۳۷۰,۴۹۶ |
۹,۰۰۷,۱۹۹,۲۵۴,۷۴۰,۹۹۱ |
|
۵۴ |
۹,۰۰۷,۱۹۹,۲۵۴,۷۴۰,۹۹۲ |
۱۸,۰۱۴,۳۹۸,۵۰۹,۴۸۱,۹۸۳ |
|
۵۵ |
۱۸,۰۱۴,۳۹۸,۵۰۹,۴۸۱,۹۸۴ |
۳۶,۰۲۸,۷۹۷,۰۱۸,۹۶۳,۹۶۷ |
|
۵۶ |
۳۶,۰۲۸,۷۹۷,۰۱۸,۹۶۳,۹۶۸ |
۷۲,۰۵۷,۵۹۴,۰۳۷,۹۲۷,۹۳۵ |
|
۵۷ |
۷۲,۰۵۷,۵۹۴,۰۳۷,۹۲۷,۹۳۶ |
۱۴۴,۱۱۵,۱۸۸,۰۷۵,۸۵۵,۸۷۱ |
|
۵۸ |
۱۴۴,۱۱۵,۱۸۸,۰۷۵,۸۵۵,۸۷۲ |
۲۸۸,۲۳۰,۳۷۶,۱۵۱,۷۱۱,۷۴۳ |
|
۵۹ |
۲۸۸,۲۳۰,۳۷۶,۱۵۱,۷۱۱,۷۴۴ |
۵۷۶,۴۶۰,۷۵۲,۳۰۳,۴۲۳,۴۸۷ |
|
۶۰ |
۵۷۶,۴۶۰,۷۵۲,۳۰۳,۴۲۳,۴۸۸ |
۱,۱۵۲,۹۲۱,۵۰۴,۶۰۶,۸۴۶,۹۷۵ |
|
۶۱ |
۱,۱۵۲,۹۲۱,۵۰۴,۶۰۶,۸۴۶,۹۷۶ |
۲,۳۰۵,۸۴۳,۰۰۹,۲۱۳,۶۹۳,۹۵۱ |
|
۶۲ |
۲,۳۰۵,۸۴۳,۰۰۹,۲۱۳,۶۹۳,۹۵۲ |
۴,۶۱۱,۶۸۶,۰۱۸,۴۲۷,۳۸۷,۹۰۳ |
|
۶۳ |
۴,۶۱۱,۶۸۶,۰۱۸,۴۲۷,۳۸۷,۹۰۴ |
۹,۲۲۳,۳۷۲,۰۳۶,۸۵۴,۷۷۵,۸۰۷ |
|
۶۴ |
۹,۲۲۳,۳۷۲,۰۳۶,۸۵۴,۷۷۵,۸۰۸ |
۱۸,۴۴۶,۷۴۴,۰۷۳,۷۰۹,۵۵۱,۶۱۵ |
[۱]. با فرمول تصاعد هندسیs=2۶۴ -۱/۲-۱=۲۶۴– ۱)) و با توجه به لگاریتم، عدد فوق به دست می‌آید.
[۲]. تعداد قابل شمارش در صد میلیارد سال عدد (۳۱۵۳۶۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰) است که از ضرب عدد ۳۱۵۳۶۰۰۰ در ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ بدست می‌آید.
پیشنهاد می کنیم فیلم تعداد حالت های ممکن در بازی شطرنج را مشاهده نمایید:
جدول محاسبه برگرفته از سایت جوان پارسی